• Печать

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Одним из общих свойств трапеции является следующее: отрезок, соединяющий середины диагоналей равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

Школьный курс геометрии включает в себя следующую задачу:

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, является параллельным ее основаниям и равен половине их разности.

Исходные данные:

  • Трапеция АВCD;
  • М принадлежит АС, АМ = МС;
  • N принадлежит BD, BM=ND;

Необходимо доказать следующее:

  1. MN параллельна AD;
  2. MN = (AD-BC)/2.

Доказательство:

  1. Исходя из теоремы Фалеса, средняя линия KF данной трапеции проходит через средины сторон AC и BD, из этого получаем, что MN принадлежит KF, а отрезок MN параллелен стороне AD. Что и следовало доказать.
  2. Для доказательства второй половины задачи воспользуемся свойством средней линии трапеции: средняя линия трапеции является параллельной основаниям и равняется их полусумме.

    треугольник АСD:
    MF = AD/2;

    треугольник BCD:
    NF=BC/2.

    Исходя из этого, получаем выражение MN = MF- NF. Подставляем в формулу значение отрезков MF и NF:

    MN = (AD/2)-(BC/2) = (AD-BC)/2

    Теорема доказана.